Søk i artikler

30% av alle tall starter på 1

Ja, tro det eller ei, det er helt sant. Fenomenet heter Benfords lov og her er en forklaring på hvorfor dette faktisk er tilfellet.

Det virker helt merkelig. Kan det virkelig stemme? Kan 30% av alle tall faktisk starte på 1? For å forsøke å bevise dette tar vi for oss alle tall fra 1 opp til en million. Men la oss starte litt enklere enn som så. Vi tar først for oss alle tall fra 1 til 30 i et skjema slik:

Tall fra 1
til og med
 Antall som
starter på 1
Prosent tall som
starter på 1
1 1 100%
2 1 50%
3 1 33%
4 1 25%
5 1 20%
6 1 17%
7 1 14%
8 1 13%
9 1 11%
10 2 20%
11 3 27%
12 4 33%
13 5 38%
14 6 43%
15 7 47%
16 8 50%
17 9 53%
18 10 56%
19 11 58%
20 11 55%
21 11 52%
22 11 50%
23 11 48%
24 11 46%
25 11 44%
26 11 42%
27 11 41%
28 11 39%
29 11 38%
30 11 37%
Gjennomsnitt 40%

Vi observerer at antall tall som starter på 1 er høyt i begynnelsen. Fra 1 på 100% faller det jevnt og trutt ned mot 9 på 11%, før vi kommer til 10 og da spretter antallet opp til 20%. Alle tallene mellom 10 og 19 starter på en, og vil dermed trekke opp prosenten av tall som starter på 1, før man kommer på 20-tallet og statistikken faller igjen. Dette kan illustreres slik.

Tallene 1 til 30 vil gi en gjennomsnittlig sannsynlighet for at tallet starter på 1 på 40%. Denne prosenten vil naturligvis falle jevnt og trutt til vi kommer til 99. Så begynner man å telle 100, 101, 102, osv, og igjen vil statistikken sprette i været til man kommer til 199, hvor man fra 200 vil ha en fallende statistikk helt opp til 999, hvor den igjen går opp på 1000. Dette mønsteret vil gjenta seg igjen og igjen etter hvert som vi teller oppover.

Les også: Hva kommer etter en billion? Og etter det igjen?

For å slippe å skrive alle tall fra 1 til en million, lager vi en logaritmisk skala som forenkler litt. Vi lager dermed følgende skjema:

Tall fra 1
til og med
 Antall som
starter på 1
Prosent tall som
starter på 1
1 1 100%
2 1 50%
3 1 33%
4 1 25%
5 1 20%
6 1 17%
7 1 14%
8 1 13%
9 1 11%
10 2 20%
20 11 55%
30 11 37%
40 11 28%
50 11 22%
60 11 18%
70 11 16%
80 11 14%
90 11 12%
100 12 12%
200 111 56%
300 111 37%
400 111 28%
500 111 22%
600 111 19%
700 111 16%
800 111 14%
900 111 12%
1,000 112 11%
2,000 1,111 56%
3,000 1,111 37%
4,000 1,111 28%
5,000 1,111 22%
6,000 1,111 19%
7,000 1,111 16%
8,000 1,111 14%
9,000 1,111 12%
10,000 1,112 11%
20,000 11,111 56%
30,000 11,111 37%
40,000 11,111 28%
50,000 11,111 22%
60,000 11,111 19%
70,000 11,111 16%
80,000 11,111 14%
90,000 11,111 12%
100,000 11,112 11%
200,000 111,112 56%
300,000 111,112 37%
400,000 111,112 28%
500,000 111,112 22%
600,000 111,112 19%
700,000 111,112 16%
800,000 111,112 14%
900,000 111,112 12%
1,000,000 111,112 11%
Gjennomsnitt 31%

Dette skjemaet illustreres som vist under. Vi kan anta at dette mønsteret vil gå igjen i all evighet oppover.

Hvis man tar alle tall opp til uendelig vil det være et definisjonsspørsmål av uendelig hvorvidt tall som starter på 1 har 30% eller 10% av den totale massen. Hvis man derimot ser bort fra det høyst teoretiske konseptet "uendelig", vil det uten tvil være slik at 30% av alle tall starter på 1. Faktisk 30,1% for å være pinlig nøyaktig.

Distribusjonen av første siffer i tall er forresten slik:

Og kan regnes ut med følgende formel

Hvor P er sannsynligheten og d er det første sifferet i tallet.

Opp mot 50% av dagligdagse tall starter på 1

Klikk på bildet for full størrelse

Her er et skjermbilde fra forsiden av e24.no den 1. februar 2013. Vi finner 116 tall på siden hvor hele 49 starter på 1. Det vil si 42%.

Hvis man ser på tall i aviser, på nettet eller i dagligtalen, vil en mye høyere andel enn 30% starte på 1. Faktisk er det anslått at opp mot 50% av tall starter på 1. I dagligdags bruk er det nemlig to effekter i tillegg til Benfords lov som spiller inn. Altså, i tillegg til at 30% av alle tall starter på 1 matematisk sett, vil man også ha to tilleggseffekter.

For det første er mennesker glad i runde tall og vil dermed gjerne snakke om 10, 100, 10% osv. Man har en naturlig dragning mot å runde av mot tall som starter på 1. Titallsystemet, og for ikke å snakke om prosentsystemet eller klokka, er også bygget opp for å forsterke dette.

Den andre effekten som forsterker effekten i dagligtale er relativ prosentandel. Altså at hvis man skal gå fra 10 til 20, må man dobble verdien. Skal man gå fra 90 til 100, må man bare opp litt over 11%. Titallsystemet gjør dermed at tall har en tendens til å samle seg rundt 10, 100, 1.000, 10.000, osv.

Video som forklarer Benfords lov

Lik oss på Facebook